Παγκόσμια ημέρα αριθμού π

Ο αριθμός π

Ο αριθμός π, γνωστός διεθνώς ως σταθερά του Αρχιμήδη, έχει την τιμητική του κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου. Η πρόταση για την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσμιας ημέρα του π έγινε το 1988 από τον φυσικό του Exploratorium του San Francisco, Larry Shaw. Επιλέχθηκε η ημέρα αυτή, γιατί στον αμερικάνικο τρόπο γραφής της ημερομηνίας, προηγείται ο μήνας από την ημέρα, οπότε η παραπάνω ημερομηνία γράφεται 3 / 14, που είναι τα τρία πρώτα ψηφία της ρητής προσέγγισης του π = 3,14.

Ο αριθμός π είναι ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρο του, και είναι ίδιος σε κάθε κύκλο. Οι πρώτοι που παρατήρησαν ότι ο λόγος αυτός είναι σταθερός σε κάθε κύκλο ήταν οι Βαβυλώνιοι περίπου το 2.000 π.Χ. Αυτοί θεωρούσαν ότι ο λόγος αυτός, δηλαδή ο π είτε είναι ίσος με το 3 είτε με το 3 1/8. Αναφορά για τον αριθμό π έχουμε και στην Παλαιά Διαθήκη, όπου μνημονεύεται ότι ο αριθμός π είναι ίσος με το 3 αλλά και στον πάπυρο Rhind (1500 π.Χ.) όπου οι Αιγύπτιοι θεωρούσαν ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με όπου δ η διάμετρος του κύκλου, οπότε, π ≈3,16049…

Ο πρώτος που προσέγγισε τον αριθμό π με επιστημονική μέθοδο και όχι εμπειρικά, ήταν ο Αρχιμήδης κατά τον 3ο αιώνα π.Χ. και γι’ αυτό ο π αναφέρεται και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης για την προσέγγιση του π χρησιμοποίησε εγγεγραμμένο και τον αντίστοιχο περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο στο ίδιο κύκλο, αρχίζοντας από το κανονικό εξάγωνο και διπλασιάζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλευρών έφθασε σε κανονικό 96-γωνο. Με τη μέθοδο αυτή κατέληξε στο συμπέρασμα:

           ή         

το οποίο θεώρησε ικανοποιητικό. Όμως, υπάρχουν εικασίες ότι στο έργο του «Κύκλου μέτρησις», το οποίο δεν βρέθηκε, ο Αρχιμήδης προχώρησε τον αλγόριθμό του δύο βήματα παρακάτω και έφθασε σε κανονικό πολύγωνο με 384 πλευρές, πετυχαίνοντας έτσι μια καλύτερη προσέγγιση την π ≈ 3,1416.

Τη μέθοδο του Αρχιμήδη ή καλύτερα τον αλγόριθμό του, εφάρμοσαν όλοι οι επόμενοι μελετητές του π μέχρι στις μέρες μας με τη μόνη διαφορά ότι από το 1947 και μετά χρησιμοποιούνται υπολογιστές. Το 2022, το Google Cloud υπολόγισε 100 τρισεκατομμύρια ψηφία.

Στις αποστολές του διαστήματος, ο αριθμός π κατέχει κύρια θέση και σύμφωνα με τη NASA χρησιμοποιούν τα πρώτα δεκαπέντε δεκαδικά ψηφία, π ≈ 3,1415 9265 3589 793 για μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς.

Για περισσότερο από τέσσερις δεκαετίες σε όλες τις επιστημονικές αριθμομηχανές (κομπιουτεράκια) αλλά και σήμερα σε αυτές που έχουν τα smartphones υπάρχει πλήκτρο με το ελληνικό γράμμα π. Αντί να γράφουμε 3,14 πατάμε το πλήκτρο π και εισάγεται ο αριθμός με περισσότερα από τρία δεκαδικά ψηφία, ώστε οι υπολογισμοί να είναι περισσότερο ακριβείς.

Το 1706 ο Ουαλός μαθηματικός William Jones εξέδωσε το έργο του Synopsis Palmariorum Matheseos. Στο έργο αυτό, για πρώτη φορά η σταθερά του Αρχιμήδη συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π, το πρώτο γράμμα από τη λέξη «περιφέρεια».

Ο γνωστός μαθηματικός Euler το 1737 χρησιμοποίησε και αυτός το σύμβολο π σε κάποιο σύγγραμμά του, οπότε το σύμβολο π καθιερώθηκε και από τότε χρησιμοποιείται παγκοσμίως.

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 …

ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. 

• Άρρητος διότι δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Η απόδειξη έγινε από τον μαθηματικό Johann Heinrich Lambert το 1767.
• Υπερβατικός διότι δεν είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς ή ισοδύναμα με ακέραιους συντελεστές. Η απόδειξη έγινε από τον Carl Louis Ferdinand von Lindemann το 1882. 

Το γεγονός ότι ο π είναι υπερβατικός σημαίνει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) το ευθύγραμμο τμήμα μήκους √π, επομένως το πρόβλημα του «τετραγωνισμού του κύκλου» δεν έχει λύση, δηλαδή δεν μπορεί κατασκευαστεί τετράγωνο ισεμβαδικό (ισοδύναμο) με γνωστό κύκλο.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το Δήλιον πρόβλημα (διπλασιασμός κύβου) και η τριχοτόμηση της γωνίας είναι τα τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας τα οποία δεν επιδέχονται λύση με κανόνα και διαβήτη.

* Γεώργιος Μπαγάνης

Μαθηματικός Γυμνασίου Μύρινας